Category Archive Bilgi Dağarcığı

Königsberg’in Yedi Köprüsü ve Topolojinin Doğuşu

Königsberg’in Yedi Köprüsü | Hanifihoca.Com

Bazen bir problemi çözmek, bir problemi çözmekten daha fazlasıdır. Königsberg Köprüleri Problemi buna güzel bir örnektir. Königsberg günümüzde Rusya Federasyonu’nda Kaliningrad adıyla yer alan, tarihte ise Alman Doğu Prusya eyaletinin başkenti olan bir şehirdir. Bu şehirde Eski ve Yeni Pregel nehirleri birleşerek Pregolya nehrini oluşturmaktadır. Bu nehirler şehri dört bölgeye ayırmaktadır ve nehir üzerine inşa edilen yedi köprü ile bu bölgeler birbirine bağlanmıştır. 

Königsberg’in Yedi Köprüsü Problemi şudur: Şehrin herhangi bir noktasından başlayıp, her köprüden yalnızca bir defa geçmek şartıyla bir şehir turu yapılabilir mi?

Çözüme geçmeden önce, Matematikte çok farklı kapılar açan bu problemi çözmeyi denemenizi tavsiye ediyorum.

Anlaşılması basit olan bu probleme çözüm bulunamamış, neden bulunamadığı ise 1736 yılında ünlü matematikçi Leonhard Euler’in çözümüyle açıklığa kavuşmuştur.

Euler’in Çözümü

Euler çözümünde kara parçalarını harflerle, köprüleri ise sayılarla işaretlemiştir. Çözümü kolaylaştırmak ve şekli daha sade hale getirmek amacıyla kara parçalarının noktalarla, köprülerin ise çizgilerle temsil edildiği ikinci bir şekil yani graf (çizge) çizilir. Graflar graf elemanı, noktalar düğüm, düğüme bağlı olan elemanların sayısı ise düğüm derecesi olarak adladırılmak üzere soru, grafın herhangi bir düğümünden başlayarak yedi elemanının her birini bir ve yalnız bir kere kullanarak dolaşma problemine dönüşmüş olur. Bu grafta A, B ve D düğümlerinin derecesi 3, C düğümünün derecesi ise 5’tir.

1736’da Euler’in incelemeleri böyle bir gezintinin mümkün olmadığını kanıtlamış ve bu tür dolaşmayı mümkün kılacak grafların şu özelliklere sahip olmaları gerektiğini göstermiştir: Birleşik bir grafın bütün elemanlarını bir ve yalnız bir defa kullanarak dolaşmak için o grafın tek dereceli düğümlerinin sayısı eğer varsa iki olmalıdır. Tek dereceli düğümler dolaşmanın başlangıç ve bitiş düğümleridir. Grafta böyle düğümler yoksa dolaşmaya herhangi bir düğümden başlanabilir.

Çözümün temelinde yatan düşünce şudur: Bir düğüm, başlangıç ya da bitiş düğümü değilse o düğüme gelen kişinin turu tamamlayabilmek için oradan ayrılması gerekecektir. Dolayısıyla bu tip düğümler çift dereceleri olmalıdır. Oysa tek dereceli bir düğüme, örneğin D düğümüne ikinci kez gelen bir kişi çıkış yolu bulamayacaktır. Dolayısıyla bu düğüm ya gezintinin bitiş düğümü olmalıdır ya da başlangıç düğümü olarak seçilmelidir ki ikinci gelişte çıkış yolu bulunabilsin. Buna göre tek dereceli düğüm sayısı ikiden fazlaysa gezinti tamamlanamayacaktır.Yürüyüşün sonunda başlangıç noktasına dönülebilmesi içinse bütün düğümler çift dereceli olmalıdır. Böylece, başlangıç ve bitiş düğümü aynı olan ve her bir elemanı sedece ve en az bir kez içeren turlara “Euler turu” ve Euler turu içeren graflara da “Euler grafları” denmiştir.

Bir Problemden Fazlası

Leonhard Euler’in bu araştırmaları matematikte tamamıyla yeni bir dal olan graf teorisinin ilk teoremi ve topolojinin keşfinin habercisi olmuştur. Çözümün ardından Euler, “Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis” isimli makaleyi yayımlamıştır.

Çözümün Kullanım Alanları

Ayrıt rotalama problemleri, pek çok araştırmacının üzerinde çalıştığı bir rota en iyilemesi problemidir. Bu problemin, gerçek hayatta mektup dağıtımı, yol bakımı, kar temizleme, çöp toplama, devriye araçları ve yol tuzlama konularında pek çok uygulaması vardır. Gerek hükümetler gerekse de işletmeler her yıl bu işlemler için önemli harcamalar yapmaktadırlar. Fakat planlamanın etkin olarak yapılamaması durumunda önemli miktarlarda kaynak israfı söz konusudur.

Yararlanılan Kaynak: https://tr.wikipedia.org/wiki/Königsberg’in_yedi_köprüsü

matematikciler.com

ATAKENT ÖZEL DERS – Türev ve İntegrali Anlamak

ATAKENT ÖZEL DERS

Türev ve İntegrali Anlamak

TÜREV VE İNTEGRAL NEDİR?

Türev ve integral matematiğin en önemli konseptlerinden ikisidir. Günümüzde okullarda bu ikili çok yüzeysel bir şekilde ve çoğunlukla tamamen ezbere dayalı, kavramların ne anlama geldiği öğrenciye söylenmeden, sadece nasıl çözüleceği üzerinden anlatım yapılmaktadır.

Örneğin türev için “sayının üssünü katsayı olarak önüne al ve üssü 1 azalt” denmekte, integrali anlatmak içinse “üssü 1 arttırıp, aynı sayıyı payda olarak sayının altına yaz” gibi kalıp halinde ve algılamanın imkansız olduğu bir biçimde anlatılmaktadır.

ATAKENT ÖZEL DERS

Türev ve İntegrali Basit Bir Örnekle Anlamak

Aslında iki kavram da, öylesine temel ve öylesine basittir ki… Buna rağmen, matematiğin, modern bilimin ve mühendisliğin kalbinde yatan kavramlardır. Türev ve integrali binbir farklı şekilde anlatmak mümkündür, fakat temel düzeyde anlamak için kısa bir tanım yapacağız:

Türev, herhangi bir zaman aralığındaki değişim miktardır. Yani “değişim”i ölçmek için kullanılır. Az sonra örneklendireceğiz. İntegral ise, belli bir aralıktaki toplam değişimi, ya da biriken değişim miktarını, ifade etmek için kullanılır. Türev ve integrali anlamak için, integrali çözme yöntemleri bir kenara bırakılarak, hayattan örneklere bakılabilir.

Örneğin tavanınız akıtıyorsa ve etrafı su götürmemesi için akıtan noktanın hizasına büyük bir kova koyduysanız, kova içerisindeki su damla damla birikecektir. Birim zamanda (örneğin 1 saatte) kovadaki suyun hacmindeki değişim miktarı türev ile hesaplanır. Çok basit tabiriyle, hacim miktarındaki değişimin, zamandaki değişime oranıdır. Tabii ki bu hesabın bu şekilde kolayca anlaşılabilmesi için, tavanın düzenli olarak akıttığı varsayılmalıdır. Eğer ki tavan bir hızlı, bir yavaş akıtıyorsa, o zaman çeşitli yöntemlerle bu akıtma davranışı matematiksel olarak tanımlanmalı ve ondan sonra belirli bir zamandaki değişim hesaplanmalıdır. Fakat basit bir şekilde düşünecek olursak, her saniye 1 damla damlatan bir tavanın kovayı doldurma hızı, türevle hesaplanır. Bu tür çok basit işler için yapılan işlemlerde türev, basit çarpım ve toplam işlemlerine dönüşür. Bu sebeple türev olarak düşünemize gerek kalmaz; ancak değişim olan her şeyin özü, türeve dayanmaktadır. İntegral ise, belli bir değerin, belli bir diğer değere göre değişiminin toplamıdır. Örneğin damlatan tavanımızın hızının giderek arttığını düşünelim. 24 saatlik bir süre zarfında, kaç kova dolusu su birikeceğini, integral hesabıyla bulabiliriz.

Görseldeki İntegrali Anlamak

Görselde, “edebi” bir örnek üzerinden integral anlatılmaktadır. Her ne kadar bilimsel geçerliliği tartışılır olsa da, integral hesaplarında yer alan değerleri anlamak için faydalı olduğu için bu örneği vermek istedik. Öncelikle, denklemde sol tarafta belirtilen “yaşam”, integral işleminin sonucudur. Yani tanımlamak istediğimiz şey, yaşamdır. Burada, örneklemek bakımından şu edebi cümleyi düşünelim: “Yaşam, ömrünüz boyunca geçirdiğiniz zamanda aldığınız mutlulukların toplamından ibarettir.”
 
Bu cümlenin integral ifadesi, görseldeki gibidir. Önce, değişken belirlenmelidir. Burada değişen şey, zamandır. Sonrasında, hesaplamak istediğimiz şey belirlenir: mutluluk. Yani sözün iddia ettiği gibi, mutluluğun zaman içerisindeki birikimini hesaplamak istiyoruz. Bunun, yaşama eşit olduğunu iddia edeceğiz. İntegral işareti (uzunca bir S şeklinde olan işaret) altına, değişkenin (bu durumda “zaman”) başlangıcı yazılır: doğum. Üstüne, hesaplanmak istenen aralığın sonu yazılır: ölüm. İntegralin iç kısmına, hesaplanmaya çalışılan şey yazılır. Bu durumda, “zaman başına düşen mutluluk” hesaplanmaktadır. Dolayısıyla “mutluluğun zamana bölümü” yazılmıştır. Benzer bir hesap, sadece “mutluluk” olarak da yapılabilirdi. Bu örnekte, zaman başına düşen mutluluk yazılmıştır. Son olaraksa, değişken Δ işaretiyle (ya da genelde “d” harfiyle) birlikte yazılır. Δzaman, “birim zaman” demektir. İşte oldu! Zaman (ya da birim zaman) başına düşen mutluluğun birikimini, doğumdan ölüme kadar, birim zaman aralıkları boyunca hesapladık. Bunu da yaşama eşitledik!
Aynı örnek üzerinden gidilecek olursa türev, iki birim zaman arasındaki mutluluk miktarınızın değişimiyken; integral, birim zamanlar boyunca belli bir aralıkta tüm bu mutluluk değerlerinin bir toplamıdır. Bu örnekteki temel nokta, “mutluluk” değerinin matematiksel ifadesidir. İntegral içerisinde toplamak istediğimiz olgunun matematiksel ifadesi önemlidir. Yani edebi bir anlatım yapmıyor olsaydık da, mutluluk yerine yazacağımız şeyi (örneğin değişen hızlarda damlatan bir çatıyı) matematiksel olarak tanımlamamız gerekirdi. Ki bu, gerçek sorunlarla karşılaşan bilim insanlarının yaptığı ilk şeydir. Sonrasında, integrali tespit ederler ve sayısız çözüm yönteminden uygun olan birini kullanarak çözerler.
Grafiklerin Türev ve İntegralini Anlamak
Bu noktada, okullarda kalıp halinde öğretilen bir diğer nokta da anlaşılır hale gelebilir. Lisede hep şuna benzer bir şey söylerler: “türev, grafikte belli bir noktaya çizilen teğet çizgisinin eğimiyle ifade edilir.” Neden? Türevin anlamını hatırlayın: değişim! Elimizdeki grafik (ya da “geometrik eğri”), tıpkı yukarıda anlattığımız “mutluluğun matematiksel tanımı” gibi, bir şeyi grafiksel olarak tanımlayan bir çizgidir. Bunun herhangi bir noktasındaki (eğer zamana bağlı türev alıyorsak, herhangi bir “anındaki”) değişim, eğri üzerinde spesifik olarak o noktadan bir sonraki noktaya geçerken ne kadar değişim geçirmemiz gerektiğidir. Bunu tam olarak tespit etmek mümkün değildir, ancak o noktada grafiğe çizilen bir teğet, tıpkı bir “kaydırak” görevi görecek ve dikkate aldığımız noktadan, bir sonraki noktaya olan gidişatı belirleyecektir. O kaydırak ne kadar “dik” ise, o kadar hızlı bir değişim var demektir: çünkü dik bir kaydıraktan, hızlı bir şekilde kayabilirsiniz. Değişim, çok hızlı olur. O teğet ne kadar yataysa, değişim o kadar azdır. Çünkü yatay bir kaydırakta çok yavaş ilerleyebilirsiniz, konumunuzun değişimi çok azdır! Yani gerçek hayattaki bir kaydırak, sizin bir noktadan bir sonraki noktaya gidişinizi gösteren bir türev eğrisi gibi düşünülebilir.
İntegral ise, bir eğrinin altında kalan her şeyin toplamıdır. Zaten tanımı gereği, integralin “iki aralık arasında değişen bir değişkenin toplamı” olarak izah edildiğini hatırlayın. Bu sebeple, bir hız-zaman grafiğinin yatay eksen ile arasındaki toplam alan, alınan toplam yolu verir. Bunu iki açıdan düşünebilirsiniz: ilki, somut fiziktir. Konum, hızın zamana göre integralidir. Dolayısıyla hız grafiğinin altındaki alan, integrale denk geldiğinden, toplam konumu verir. Anlaması, lisedeki gibi zor, değil mi? Ancak ikinci yöntem, integralin basamak basamak toplamak olduğunu düşünmektir. Belli bir hızla hareket eden bir cisim, her saniye belli bir miktar yol kat eder. Bu yolların toplamı, iki zaman sınırı arasında alınan toplam yola eşittir. İşte bunu kolayca bulmanın yolu, grafiği tanımlayan matematiksel denklemin integralini almaktır. x eksenine göre (Δx veya dx yazarak) integralini aldığınızda, x ekseni ile grafik arasında kalan alanı hesaplamış olursunuz. Eğer grafiğiniz hız-zaman eğrisiyse bu size toplam alınan yolu verir.
Kalkülüs’ün Temel Teoremi’ne göre türev ve integral birbirinin tersidir. Dolayısıyla bir değişkenin önce integralini, sonra türevini alırsanız (ya da tam tersi), değişkenin kendisini elde edersiniz. Aslında bu her zaman doğru değildir; integralin sınırları da önemlidir. Ancak basitçe akılda tutmak için, bu kadar detaya ihtiyacınız şimdilik yok. İkisini birbirinin tersi olarak görebilirsiniz.
Bu konuda daha pekçok söz söylenebilir; ancak umuyoruz ki bu matematiksel terimlerin ne için kullanıldığını anlamanıza katkı sağlamışızdır.
ÖZEL DERS HALKALI
matematiksel.org

Parmakla Trigonometri Hesabı

Parmakla Trigonometri Hesabı

Trigonometri Formülleri

Parmaklarla Trigonometri Nasıl Hesaplanır, Trigonometri Formülleri

Trigonometri konusunun olmazsa olmazlarıdır özel açıların trigonometrik oranları.

Eşkenar üçgeni, ikizkenar üçgeni ve pisagor bağıntısını bilen herkes aslında bu oranları hesaplayabilir.

30°-60°-90° ve 45°-45°-90° üçgenlerinin çizilmesiyle bu açıların oranları karşımıza çıkmaktadır.

Ancak bu çıkarımları yapmaktansa kimi zaman öğrencilere ezberlemek daha kolay gelir.

Parmak hesabı trigonometri ile sinüs ve kosinüs değerlerini nasıl bulabileceğinizi aşağıdan görebilirsiniz.

Tanjant ve kotanjantı da siz hesaplayabilirsiniz.

(Biliyorsunuz ki tanjant=sinüs/kosinüs ve kotanjant=kosinüs/sinüs’e eşittir.)

parmakla-trigonometri-hesabi

Arkadaş Sayılar Nedir?

Arkadas-Sayilarİki sayı birbirinin kendisi hariç pozitif bölenleri toplamına eşitse bu sayılara arkadaş sayılar denir.

En küçük arkadaş sayı çifti 200 ve 284’tür.

Bu iki sayı arkadaş sayıdır çünkü 220’nin kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı 284’e, 284’ün kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı 220’ye eşittir.

220’nin kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı : 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

284’ün kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı : 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1636’da Fermat 17296 ve 18416’nın arkadaş sayı olduklarını keşfetti.

Üçüncü çifti Descartes keşfetti.

Leonhard Euler ise, kendi bulduğu 59 çift ile birlikte 62 çiftten oluşan bir liste hazırladı.

1866’da 16 yaşındaki İtalyan Nicolo Paganini 1184 ve 1210 sayılarının da böyle bir çift olduğunu gösterdi.

İlk 10 arkadaş sayı çifti (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084), ve (66928, 66992)’dir.

www.istanbulmatematik.net 

matematikciler.org

GeoGebra Nedir?

Geogebra

GeoGebra Nedir?

GeoGebra, eğitimin tüm seviyeleri için geometri, cebir, hesap tabloları, grafik, istatistik ve calculus’ü kullanımı kolay bir pakette birleştiren dinamik bir matematik yazılımıdır. GeoGebra, nerdeyse her ülkede yerleşik milyonlarca kullanıcıyla hızla genişleyen bir topluluktur. GeoGebra, fen bilimleri, teknoloji, mühendislik ve matematik eğitimini (STEM) ve dünya genelinde öğrenim ve öğretimde innovasyonu destekleyerek önde gelen bir dinamik matematik yazılımı haline gelmiştir.

GeoGebra, ilkokul seviyesinden üniversite seviyesine kadar, öğrencilerin matematiği ve bilimi daha iyi anlamaları için geliştirilen bir dinamik matematik yazılımıdır. 2001 yılında Salzburg Universitesi’ nde yüksek lisans öğrencisi olan Markus Hohenwarter’ ın tezi için geliştirilen GeoGebra 62 dile çevrilip 190 ülkede öğrenciler, öğretmenler ve araştırmacılar tarafından kullanılmaktadır (Hohenwarter & Fuchs, 2004; Lavicza, 2014). GeoGebra’ yı kullanarak oluşturulan materyalleri paylaşmak amacı ile farklı ülkelerde GeoGebra Enstitüleri kuruluştur.

Bugün 85 ülkede 153 tane GeoGebra Enstitüsü bulunmaktadır (Lavicza, 2014).

Sizin de gördüğünüz gibi GeoGebra’ nın popülerlliği her geçen gün artmaktadır. Bir ay içerisinde 1.000.000’ dan fazla kişi GeoGebra’ nın resmi sitesini ziyaret etmektedir (Lavicza, 2014).Bu noktada,GeoGebra’ nın neden bu kadar popüler bir araç olduğunu merak edebilirsiniz. Aslında bu sorunun beni teşvik etmesi sonucu araştırmalar yaptım ve elde ettiğim ilk bulgularımı aşağıda sizinle paylaşmak istiyorum.

  1. GeoGebra ücretsiz açık kaynak bir dinamik matematik yazılımıdır (Hohenwarter & Lavicza, 2007).
  2. GeoGebra’ yı kullanmak ücretsiz olduğundan dolayı, öğrenciler ve öğretmenler GeoGebra’ yı kullandıkları zaman lisans problemleri ile karılaşmazlar ve hem sınıfta hem de evde GeoGebra’ yı ücretsiz kullanabilirler  (Lavicza & Papp–Varga, 2010).
  3. GeoGebra çeşitli araştırmacılar tarafından sürekli olarak geliştirilmektedir. Ocak 2014’ te Dr Zsolt Lavicza ile yaptığım röportajda, Dr Lavicza GeoGebra’ yı kullanarak hem veri toplamanın ve hem de toplanan verinin analiz edilmesinin  mümkün olacağından bahsetmiştir.
  4. GeoGebra geometri, cebir, istatistik ve matematiği içeren tek bir pakettir (Lavicza, Hohenwarter, Jones, Allison, & Dawes, 2010).
  5. GeoGebra orta öğretimde bilgisayar bilimi ve fizik arasında bağlantı kurmamıza yardımcı olur (Guncaga, Majherová, & Jancek, 2012).

Kısa Bilgiler

» Geometri, Cebir ve Hesap tabloları ilişkilendirilmiştir ve tamamen dinamiktir

» Kullanımı kolay bir arayüz ve çok güçlü özellikler

» Web sayfası olarak etkileşimli öğrenme materyali oluşturmak için yardımcı bir araç

» Dünyanın her yerindeki milyonlarca kullanıcı için her dilde mevcut

» Açık kaynak kodlu yazılım Ticari olmayan kullanımlar için ücretsiz

Geogebra programını:

» Windows tabletinizde, iPadinizde, Android tabletinizde,

» Windows bilgisayarınızda, Mac bilgisayarınızda, Linux bilgisayarınızda,

» Android telefonunuzda kullanabilirsiniz.

GEOGEBRA PROGRAMINI İNDİR http://www.geogebra.org/download

www.istanbulmatematik.net

matematikciler.org

Prizma-Piramit-Koni-Küre (Temel Elemanları ve Açınımları)

Prizma-Piramit-Koni-Küre

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:

  • √ Geometrik Cisimler
  • √ Temel Elemanları ve Açınımları
  • BU KONUYLA İLGİLİ KAZANIMLAR:
  • √ Prizmayı inşa eder, temel elemanlarını belirler ve yüzey açınımını çizer.
  • √ Piramidi inşa eder, temel elemanlarını belirler ve yüzey açınımını çizer.
  • √ Koninin temel elemanlarını belirler, inşa eder ve yüzey açınımını çizer.
  • √ Kürenin temel elemanlarını belirler ve inşa eder.

PRİZMA

# Alt ve üst tabanları birbirine eş ve paralel çokgensel bölgelerden oluşan, yan yüzleri ise dörtgensel bölge olan geometrik cisimlere prizma adı verilir.

# Prizmalar tabanlarına göre isimlendirilir. (Örneğin tabanları birbirine paralel eş üçgensel bölge olan prizmaya üçgen prizma adı verilir.)

# Prizmanın temel elemanları; tabanları, yan yüzleri, ayrıtları, köşeleri ve yüksekliğidir.

# Prizmanın yüksekliği tabanları arasındaki dik uzaklıktır. Tabanlardan birinin herhangi bir noktasından diğer tabanına indirilen dikmedir.

# Tabanlarının kaşılıklı köşelerini birleştiren ayrıtları (yan yüzdeki ayrıtları) tabana dik olan prizmalara dik prizma, dik olmayan prizmalara eğik prizma denir.

Prizmalar-temel-elemanlari

# Dik prizmaların yan yüzleri dikdörtgensel bölgelerden, eğik prizmaların yan yüzleri paralelkenarsal bölgelerden oluşur.

Prizmalar-acinimlari

# Prizmaların taban merkezlerinden geçen doğruya eksen adı verilir.

Prizmalar-donme-simetrisi# Bir prizma ekseni etrafında 360°’den daha küçük bir açıyla döndürüldüğünde kendisiyle en az bir kere çakışıyorsa dönme simetrisine sahiptir. Dönme simetrisine sahip bir şeklin ilk defa kendisiyle çakıştığı açıya en küçük dönme simetri açısı denir.

# Tabanı düzgün çokgen olan dik prizmaların en küçük dönme simetri açıları, tabanlarının dış açılarına eşittir.

# Tabanı düzgün çokgen olan dik prizmaların en küçük dönme simetri açıları, 360’ı taban kenar sayısına bölerek bulunabilir.

Örneğin: Eşkenar üçgen dik prizmanın en küçük dönme simetri açısı : 360/3 =120° 

 PİRAMİT

# Bir çokgensel bölgeyi oluşturan bütün noktaların, bu noktaların bulunduğu düzlemin dışındaki bir nokta ile birleşmesinden oluşan cisme piramit adı verilir.

# Piramitler tabanlarına göre isimlendirilirler. (Örneğin üçgen piramit, kare piramit, dörtgen piramit gibi.)

# Piramidin temel elemanları; tepe noktası, tabanı, yan yüzleri, ayrıtları ve yüksekliğidir.

# Piramidin yüksekliği, tepe noktası ile tabanı arasındaki dik uzaklıktır. Tepe noktasından tabanına indirilen dikmedir.

Piramit-ve-acinimi

# Piramidin tabanı çokgensel bölge, yan yüzleri üçgensel bölgedir.

Piramit-ve-elemanlari

# Piramidin tepe noktasını tabanının merkezine (tabanın ağırlık merkezine) birleştiren doğru parçası tabana dik ise böyle piramide dik piramit, dik değil ise eğik piramit adı verilir.

Piramit-kesik# Dik piramit, tabanına paralel bir düzlemle kesildiğinde elde edilen iki parçadan tepe noktasının bulduğu kısım yine dik piramit olur. Tabana paralel olmayan bir düzlemle (tabanı kesmeyen ve tepe noktasından geçmeyen) kesilirse eğik piramit olur.

# Tabanı düzgün çokgen olan dik piramitlerde, prizmalarda olduğu gibi dönme simetrisi vardır.

Örneğin tabanı kare olan dik piramidin en küçük dönme simetri açısı: 360/4 =90°

KONİ

# Bir dairenin bütün noktalarının dışındaki bir nokta ile birleşmesinden oluşan cisme koni adı verilir.

# Koninin temel elemanları; dairesel bölge olan tabanı, taban düzlemi dışındaki bir nokta olan tepe noktası, tepe noktasıyla taban merkezinden geçen doğru olan ekseni, tepe noktasıyla taban çevresi üzerindeki bir noktadan geçen ana doğrusu (doğuran), ana doğrunun taban çevresi etrafında döndürülmesiyle oluşan yanal yüzeyidir.

Koni-ve-acinimi

# Ekseni tabana dik olan konilere dik koni (veya dönel koni), dik olmayan konilere eğik koni adı verilir.

# Dik koni tabanına paralel bir düzlemle kesilirse tepe noktasının bulunduğu parça dik koni oluşturur. Tabanına paralel olmayan, tabanından ve tepe noktasından geçmeyen bir düzlemle kesilirse tepe noktasının bulunduğu parça eğik koni oluşturur.

Koni-kesiti

# Dik koniler her açıda dönme simetrisine sahiptirler.

# Dik koninin yanal yüzü, bir dairenin belirli bir açı ile elde edilen dilimidir (sektör). Bu daire diliminin yarıçapı koninin anadoğrusunun tepe noktasıyla taban çevresi arasında kalan parçasına eşittir.

Koni-formul# Sektör yayının uzunluğu koninin taban çevresine eşittir. Buradan yola çıkarak şu formül bulunabilir.

Taban cevresi = Daire dilimi cevresi 

2π r= 2π a.α/360 

r=a.α/360 

r/a =α/360

 KÜRE

# Bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesine küre denir.

# Kürenin temel elemanları; merkezi, yarıçapı ve yüzeyidir.

Kure-ve-elemanlari# Bir düzlemin küre ile olan arakesiti en büyük daire ise bu düzlem kürenin merkezinden geçer. Oluşan arakesit dairedir, bu dairenin merkezi kürenin de merkezidir ve bu dairenin yarıçapı kürenin de yarıçapıdır.

# Merkezinden geçen düzlemlerle kürenin ara kesitine büyük daire, küre yüzeyinin ara kesitine büyük çember adı verilir.

# Özel bir küre, merkezi ve yarıçapı ile belirlenir.

# Küre açınımı yüzünden diğer cisimlerden ayrılır çünkü tam olarak açılamaz.

Sınav Stresini Azaltan Yiyecekler (YGS ve diğer sınavlar için)

Acaba doğru besleniyor muyuz ?

İnsan vücudu mükemmel bir fabrika gibi kusursuzca çalışıyor, bu fabrikaya gerekli ilgiyi ve bakımı göstermediğimiz zaman arıza veriyor,sonucunda hastalıklar oluşuyor.

Yemediğimiz, içtiğimiz gıdaların çok büyük bir rolü var bu vücut dengesini sağlamak üzerine.

Özellikle sınavlara hazırlananlar beslenmeniz çok önemli; Lütfen dikkatle okuyunuz…

Çoğu arkadaşımız;

Konsantre olamamaktan,

Öğrendiklerini çabucak unutmaktan,

Dikkatini veremeyip aynı sayfayı/soruyu tekrar tekrar okuduklarından yakınıyorlar

Acaba hangi besinler beynimizin daha iyi çalışmasına yardımcı olur..?

ODAKLANMA İÇİN: 

Ceviz, fındık, fıstık:

Konferanslarda, derslerde, uzun araba yolculuklarında, sinirleri kuvvetlendirirken, beyindeki haber alma maddelerinin oluşumunu hareketlendirirler.

Soğan:

Aşırı yıpranmaya, fiziksel yorgunluğa karşı. Kanı sulandırır, beyin oksijeni daha iyi alır.

Karides:

Beyin besinidir. Vücuda önemli omega 3 yağ asitleri sağlar. Dikkat verme süresini daha uzatır.

ÖĞRENME İÇİN: 

 

..

Lahana

Tiroit bezlerinin aktivitesini yavaşlattığı için daha stressiz öğrenmeyi sağlar. Stresin getirdiği atıştırma krizlerinde, düşük kalorisi sayesinde bol bol çiğ olarak yenebilir.

Limon- Portakal:

C vitamininden dolayı canlandırır, algılama yeteneğini artırır. Çalışma ve sınav öncesi, limonata veya portakal suyu

Yaban mersini:

Beynin kanla daha iyi beslenmesi için, uzun süreli bir öğrenmede ideal bir meyvedir.

sınav stresini azaltan yiyecekler

HAFIZA İÇİN: 

Havuç:

Beyin metabolizmasını canlandırarak, hatırlama yeteneğini arttırır, Bir şey ezberlerken bir küçük tabak sıvı yağlı havuç salatası yiyin.

Ananas:

Uzun bir metin ezberleyebilmek için fazla miktarda C vitaminine ihtiyaç vardır. Ayrıca önemli bir eser halinde element olan mangan içerir.

Avokado:

Kısa süreli hafıza içindir. Fazla miktarda yağ asidi içerir. Yarım avokado yeterlidir.

YARATICILIK İÇİN: 

Zencefil: İçerdiği maddeler beynin yeni fikirler üretmesini sağlar. Kan sulandığı için vücutta daha serbest akar, beyin oksijenle beslenir.

Kimyon: İçerdiği uçucu yağlar bütün sinir sistemini uyarır. Aniden bir fikre, bir buluşa ihtiyacı olan kimyon çayı içmelidir (bir fincana iki tatlı kaşığı dolusu kimyonla).

sınav stresini azaltan yiyecekler2

MUTLULUK İÇİN :

Çilek: Bir küçük kase çilek, stresi giderir, mutluluk verir.

Muz: Serotonin içerdiği için mutluluk verir.

Kırmızı biber: Aroma maddeleri vücudun mutluluk hormonu endorphinin salgılanmasını sağlar. Çiğ ve acı olanı en etkilidir.

(Çilek ve muz: unutmayın 🙂 (ballı olsun)

STRESE KARŞI: 

Gerginken yenmek istenen çikolata, hamur işi,tatlı gibi besinler, kola, kahve gibi içecekler çok miktarda şeker ve kafein içerdikleri için sinirleri bozarlar. Doğru bir beslenme stresli zamanların üstesinden gelmemizde bize yardımcı olacaktır. Bunun için de yanlış alışkanlıklarımızı değiştirmemiz gerekecektir.

Pİ SAYISI

pi sayısı

Nedir Bu Pi Sayısı?

Pi sayısı, bir dairenin çevresinin çapına bölümü ile elde edilen sayıdır. Bu oran her daire için aynı değeri aldığından, π sayısı bir matematiksel sabittir.

Günlük kullanımda basitçe π ≈ 3,1416 olarak ifade edilmesine rağmen gerçek değerini ifade etmek için periyodik olarak tekrar etmeyen sonsuz sayıda basamağa ihtiyaç vardır.

İlk 65 basamağa kadar ondalık açılımı şöyledir:

3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923

Pi-unrolled-720

        Bir çemberin çapı 1 olduğunda, çevresi Pi’ye eşittir.

Nedir Pi Sayısını Çekici Kılan?

Pi, kültürel açıdan matematiksel sabitler içersinde en çok etki yaratanıdır. Bunu en basit nedenleri çok eskiden beri bilinmesi, çember gibi çok yaygın bir geometrik cisimle ilgili olmasi ise de bir başka nedeni de görünüşe göre bir kural izlemeyen ondalık açılımının insan aklını zorlayan kavranışıdır. Her ne kadar matematiksel açıdan π çok az bir gizem içerse de popüler kültürde bunun aksini işleyen eserler bolca mevcuttur. Ayrıca Eski Ahit’in bir bölümünde Pi sayısının değerinin 3 olduğu ima edildiğinden, kökten dinci hristiyanlar arasında π’nin değerinin okullarda 3 olarak öğretilmesini savunanlar da vardır.

Pi Sayısının ilk 12 rakamını ezberlemek için yazılmış bir şiir (Davut AltınSu) :

Sen çözebilirmisin o sırlı rakamları?

3             14          1    5         9

Bu sözümü düşün, Çöz gizli sırımızı!

2         6         5       3      5      8

Pi Sayısının Adı Nerden Geliyor?

Pi sayısı ismini, Yunanca περίμετρον yani “çevre” sözcüğünün ilk harfi olan π harfinden alır. Bu harf Latin Alfabesi’nde Pİ ile sembolize edilir. Ayrıca pi sayısı Arşimet sabiti ve Ludolph sayısı olarak da bilinir.

Pi Sayısının Tarihçesi

Kaynaklar pi sayısı için, ilk gerçek değerin, Archimedes tarafından kullanıldığını belirtir. Archimedes; pi sayısının değerini hesaplamak için bir yöntem vermiş ve pi değerini 3+1/7 ile 3+10/71 arasında tespit etmiştir. Bu iki kesrin ondalık sayı karşılığı 3,142 ve 3,1408 dir. Bu iki değer, pi sayısının, bugünkü bilinen gerçek değerine çok yakın olan bir değerdir. Ancak Archimedes’in gençlik yıllarında Mısır’da uzun bir süre öğrenim gördüğü bilinmekte.

Archimedes’in sağlığında İskenderiye’de Öklid’den ders aldığı, Öklid’in de Eski Mısır ve Mezopotamya Babil yöresinde uzun yıllar dolaşan bir matematikçi olduğu, bilinen tarihi bir gerçektir. İskenderiyeli tarihçi Herodot, metrika adlı eserinde pi sayısı için verdiği değer 3,71’dir. Bu değer, İskenderiyeli Heron’dan sonra gelen, eski Yunan ve ortaçağ matematikçileri tarafından farklı değerler kullanılmıştır. İskenderiyeli Heron’un verdiği yaklaşık değerin de, Mezopotamya menşeli olması ve Mezopotamyalılar’dan alınma takribi bir sonucu temsil etmesi muhtemeldir.

Pi sayısı üzerinde, Babilliler’in çok eski zamanlardan beri, kullanılan yaklaşık bir bilgiye sahip oldukları anlaşılmıştır. Genel olarak pi=3 değerini kullanıyorlardı. Bazı tabletlerde pi=3,125 değeri ne de rastlanılmıştır. Aydın Sayılı, adı geçen eserinde, “Mezopotamyalılar’da, idealleştirilmiş çemberlerle üçgenlerdeki geometrik münasebetler aracılığıyla, çözümlenen problemlerde teorikleştirilmiş ve soyutlaştırılmış bir durum mevcuttur” der. Böyle problemlerde sonuç hesaplanırken pi sayısı için, değerinin kullanılmış olduğunu belirtir.

Bu değeri; Mezopotamyalılar takribi sonuçlar için kullanmaktaydılar. Daha iyi yaklaşık sonuçlar elde etmek istedikleri zaman pi=3,125 değerini uygularlardı. Ancak pi sayısının; Mısırlılar’ınkinden ve Susa tabletlerinin gösterdiği değerden oldukça daha iyi bir değeri, ilkin Archimedes tarafından bulunmuştur.

Kaynaklar; Mezopotamyalılar, yamuk alanı hesabı ile, silindir ve prizma hacim hesaplarını bildiklerini ve pi için de 3 değerini kullandıklarını belirtir. Fakat eski Babil çağına ait olup, Susa’da bulunmuş olan tabletlerde pi için kabul edilen değerin 3,125 olduğu anlaşılmaktadır.

Fraktallar

Fraktallar-fraktal-resimleri-1Fraktal parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Lâtince fractuuss kelimesinden gelmiştir. İlk olarak 1975’de Polonya asıllı matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından ortaya atıldığı varsayılır.

Kendi kendini tekrar eden ama sonsuza kadar küçülen şekilleri, kendine benzer bir cisimde cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin bütününü inceler.

Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesnelerde sonsuza kadar sürebilir; tam tersi de her parçanın her bir parçası büyütüldüğünde, gene cismin bütününe benzemesi olayıdır.

Doğada görülebilen bir örnek olarak bazı bitkilerin yapısı verilebilir. Fraktala en çok verilen örnek eğrelti otudur. Eğrelti otunun her yaprağının üzerinde yine küçük küçük yapraklar vardır.

Fraktalın özellikleri Nelerdir ?

Tüm fraktallar kendine benzer ya da en azından tümüyle kendine benzer olmamakla birlikte,    çoğu bu özelliği taşır. Kendine benzer bir cisimde cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin bütününe benzer. Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesnelerde sonsuza değin sürebilir; öyle ki,her parçanın her bir parçası büyütüldüğünde,  gene cismin bütününe benzer. Bu fraktal olgusu, kar tanesi ve ağaç kabuğunda kolayca gözlenebilir. Bu tip tüm doğal fraktallar ile matematiksel olarak kendine benzer olan bazıları, stokastik, yani rastgeledir; bu nedenle ancak istatistiksel olarak ölçeklenirler. Fraktal cisimler,düzensiz biçimli olduklarından ötürü Eukleidesçi şekilleri ötelenme bakışına sahip değildirler. (Ötelenme bakışımına sahip bir cisim kendi çevresinde döndürüldüğünde görünümü aynı kalır.)

Fraktalların bir başka önemli özelliği de, fraktal boyut olarak adlandırılan bir matematiksel parametredir. Bu cisim ne kadar büyütülürse büyütülsün ya da bakış açısı ne kadar değiştirilirse değiştirilsin, hep aynı kalan fraktalların bir özelliğidir. Eukleidesçi boyutun tersine fraktal boyut, genellikle tam sayı olmayan bir sayıyla, yani bir kesir ile ifade edilir. Fraktal boyut, bir fraktal eğri yardımıyla anlaşılabilir.

Oluşturulmasının her aşamasında bu tip bir eğrinin çevre uzunluğu 4/3 oranında büyür. Fraktal boyut (D)4’e eşit olabilmesi için alınması gereken kuvvetini gösterir; yani;

3d =4 bu bakımdan fraktal eğriyi niteleyen boyut log4/log3 ya da kabaca 1,26’dır. Fraktal boyut, Eukleidesçi olmayan belirli bir biçimin karmaşıklığını ve şekil nüanslarını açığa çıkarır.

Fraktal Nerelerde Yararlanılır Kullanılır ?

Kendine benzerlik ve tamsayı olmayan boyutlu kavramlarıyla birlikte fraktal geometri, istatistiksel mekanikte, özellikle görünürde  rastgele özelliklerden oluşan fiziksel sistemlerin incelenmesinde giderek daha yaygın olarak kullanılmaya başlanmıştır. Örneğin, gökada kümelerinin evrendeki dağılımının saptanmasında ve akışkan burgaçlanmalarına ilişkin problemlerin çözülmesinde fraktal benzetimlerden (simülasyon) yararlanılmaktadır. Fraktal geometri bilgisayar grafiklerinde de yararlı olmaktadır. Fraktal algoritma ise, engebeli dağlık araziler ya da ağaçların karışık dal sistemleri gibi karmaşık, çok düzensiz doğal cisimlerin gerçektekine benzer görüntülerinin oluşturulabilmesini olanaklı kılmıştır.

Fraktal örnekleri:

matematikciler.org

Fibonacci Sayıları

FibonacciFibonacci Sayıları

İtalyan matematikçi Fibonacci yazdığı matematik kitaplarından birinde tavşan çiftliği olan bir arkadaşıyla ilgili olduğunu iddia ettiği bir problem sorar. Bu probleme göre arkadaşının çiftliğindeki tavşanlar doğdukları ilk iki ay yavru yapmazlar. Üçüncü aydan itibaren her çift her ay bir çift yavru yapar. Buna göre Fibonacci’nin arkadaşı bir çift tavşanla başlarsa kaç ay sonra kaç çift tavşanı olur?
İlk ay yeni doğmuş bir çift tavşanımız olsun. Matematik problemlerinde bu yavruların anasız babasız nasıl büyütülecekleri konusuna pek girilmez. İkinci ayda bu tavşanlar henüz yavrulamadıkları için hala bir çift tavşanımız var. Üçüncü ay bunlar bir çift yavru verecek ve iki çift tavşanımız olacak. Yeni doğan çift dördüncü ay doğurmayacak, oysa ana babaları yeniden bir çift yavru yapacak ve toplam üç çift tavşanımız olacak. Bu şekilde devam edersek pek bir yere varamayacağız galiba. Düşünsenize 100.aya kadar hesabı böyle götürmemiz mümkün mü? Örneğin 100.ayda kaç tavşanımız olacağını doğrudan hesaplamaya çalışalım. 99.ayda kaç tavşanımız varsa onların hepsi 100. ayda da olacak. Bunların bir kısmı yavrulayacak. Yavrulayacak olanların en az iki aylık olması gerektiğine göre 100. ayda yavrulayacak olanlar 98.ayda sahip olduğumuz tavşanların hepsi olacak. Demek ki 100. aydaki tav-şan sayısını bulmak için 98.aydaki tavşan sayısıyla 99.aydaki tavşan sayısını toplamak gerekiyor.
fibonacci sayilari
Bu hesaba bazı itirazlar yükselebilir. Biz sadece 100. aydaki sayıyı merak ediyorduk. Şimdi onu bulmak için hem 98. hem de 99. aylardaki sayıyı bulmamız gerekecek. Bu hesabı 100. ayda değil de üçüncü aydan itibaren yapalım. Birinci ve ikinci aylarda birer çift tavşanımız vardı. Demek ki üçüncü ay iki çift tavşanımız olacak. İkinci aydaki bir çift ile üçüncü aydaki iki çifti toplarsak dördüncü ay üç çifti bulacağız.
Buna göre Fibonacci sayılarının ilk birkaç tanesi şöyle sıralanır:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946…
Bu arada unutmadan 100.ayda kaç çift tavşanı olacak sorusunun cevabı da şöyle: 354 224 848 179 261 915 075
matematikciler.org